فرمولی آن‌قدر کوتاه که در یک پست شبکه اجتماعی X جا می‌شود، موجی از هیجان را در جامعه ریاضیات به راه انداخته است؛ آن هم درست زمانی که میلیون‌ها نفر پس از فینال جام جهانی فوتبال در حال استراحت بودند.
لونت آلپ‌اوگو (Levent Alpöge)، ریاضیدان شرکت هوش مصنوعی انتروپیک (Anthropic)، اعلام کرد که یک مثال نقض برای «حدس ژاکوبی» پیدا کرده است؛ مسئله‌ای معروف و دیرینه در هندسه جبر. او با استفاده از مدل زبانی بزرگ انتروپیک، یعنی Claude Fable 5 — که تنها چند هفته قبل از آن در دسترس عموم قرار گرفته بود — به این نتیجه رسید.
ریاضیدانانی که با مدل‌های زبانی بزرگ کار می‌کنند، اخیراً چند نتیجه قابل توجه تولید کرده‌اند. با این حال، این کشف با بسیاری از آن پیشرفت‌های قبلی متفاوت است.
یک سوال ساده، پیچیدگی عمیقی را پنهان می‌کند!
یک «حدس» (Conjecture) یک گزاره ریاضی است که تصور می‌شود درست است، اما هرگز به‌طور قاطع اثبات یا رد نشده است.
حدس ژاکوبی بسیار انتزاعی است، اما ایده اصلی آن را می‌توان بدون ریاضیات پیشرفته توضیح داد.
این حدس به «توابع» مربوط می‌شود؛ توابعی که می‌توان آن‌ها را مانند ماشین‌های کوچکی در نظر گرفت که یک یا چند عدد را دریافت می‌کنند و با دنبال کردن یک معادله یا قاعده خاص، اعداد جدیدی تولید می‌کنند. توابعی که در اینجا درگیر هستند، از چندجمله‌ای‌ها ساخته شده‌اند.
در این محیط، اعداد می‌توانند نشان‌دهنده نقاطی در یک فضا باشند، شبیه به مختصات روی یک نقشه. یک تابع آن مختصات را می‌گیرد و آن‌ها را دگرگون می‌کند؛ یعنی در واقع نقاط را به مواضع متفاوتی منتقل می‌کند.
ریاضیدانان می‌توانند با محاسبه «دترمینان ژاکوبی» یک تابع، بررسی کنند که آن تابع چقدر به آرامی فضا را بازآرایی می‌کند. وقتی آن دترمینان همیشه یک عدد ثابتِ غیرصفر باشد، تابع به‌صورت محلی فضای اطراف هیچ نقطه خاصی را پهن، له یا تا نمی‌کند.
حدس ژاکوبی بیان می‌کند که وقتی دترمینان ژاکوبی یک عدد ثابت غیرصفر است، باید همیشه تابع دیگری (که آن هم از چندجمله‌ای‌ها ساخته شده) وجود داشته باشد که کار تابع اصلی را معکوس کند. این کار همه نقاط را به مواضع اولیه خود بازمی‌گرداند.
هر تابعی برگشت‌پذیر نیست. به عنوان مثال، اگر تابع اولیه ما دو نقطه از نقاط اصلی را روی یک نقطه واحد منتقل کند، در این صورت نمی‌توانیم آن را معکوس کنیم. هنگامی که نقاط با هم ادغام شوند، دیگر نمی‌توانیم آن‌ها را از هم تشخیص دهیم تا به مواضع درستشان بازگردانیم.
دهه‌ها اثبات زیر ذره‌بین رد شدند!
نسخه دو بعدی حدس ژاکوبی توسط ریاضیدان چکی، لودویگ کراوس (Ludwig Kraus) در سال ۱۸۸۴ مطرح شد. این حدس در سال ۱۹۳۹ توسط ریاضیدان آلمانی، ات-هاینریش کلر (Ott-Heinrich Keller) به هر تعداد بعدی تعمیم داده شد.
این حدس آن‌قدر متقاعدکننده بود که استیون اسمیل (Stephen Smale)، دارنده مدال فیلدز، آن را در فهرست مسائل ریاضی برای قرن آینده در سال ۱۹۹۸ قرار داد.
در طول تاریخ طولانی خود، حدس ژاکوبی موضوع اثبات‌های ادعایی متعددی بوده است؛ از جمله توسط بنیامینو سگره (Beniamino Segre) و ولفگانگ گروبنر (Wolfgang Gröbner)، دو ریاضیدان نامدار قرن بیستم. با این حال، در هر مورد، خطاهای ظریفی پیدا شد که استدلال‌ها را باطل کرد.
با وجود این، تلاش‌های معتبر دیگری نیز صورت گرفته که نشان می‌دهد این حدس با محدودیت‌های مختلف درست است. نتایج محاسباتی نیز نشان داده‌اند که این حدس در دو بعد برای چندجمله‌ای‌هایی تا درجه ۱۰۰ (یعنی شامل توان‌های متغیرها تا ۱۰۰) درست است.
اما هیچ‌کس حالت کلی را اثبات نکرده بود — یا مثالی پیدا نکرده بود که نشان دهد این حدس اشتباه است.
یکی از دلایل اصلی که حدس ژاکوبی را این‌قدر جذاب می‌کند این است که نظریتاً، پیدا کردن یک مثال نقض باید آسان باشد. ساختن مثال‌هایی از توابعی که نقاط را ادغام می‌کنند، و همچنین مثال‌هایی از نگاشت‌های چندجمله‌ای که دترمینان ژاکوبی ثابت دارند، ساده است.
با این حال، پیدا کردن یک نگاشت چندجمله‌ای با هر دو ویژگی، چالش اصلی است. در واقع، همان‌طور که یکی از کاربران Math Stack Exchange در پستی در سال ۲۰۱۷ اشاره کرد: «تا آنجایی‌که ما می‌دانیم، یک دانشجوی باهوش کارشناسی می‌تواند به سادگی فرمولی بنویسد […] که مثال نقضی برای این حدس باشد».
یک فرمول کوتاه مسئله را تغییر می‌دهد!
در واقع مشخص شد که موضوع برای تابع آلپ‌اوگو دقیقاً به همین شکل بوده است؛ تابعی که آن‌قدر کوتاه است که در یک پست X جا می‌شود. او مثالی از یک تابع در سه بعد پیدا کرد که دترمینان ژاکوبی ثابت ۲- دارد و چند نقطه ورودی را به یک نقطه خروجی یکسان منتقل می‌کند، بنابراین برگشت‌پذیر نیست.
این نشان می‌دهد که حدس یادشده برای هر بعدی بزرگ‌تر از ۲ نادرست است، در حالی که حدس اصلی در دو بعد همچنان مفتوح باقی می‌ماند. کوتاه بودن این مثال نقض، راستی‌آزمایی آن را برای سایر ریاضیدانان آسان کرد.
هوش مصنوعی ارزشی فراتر از اثبات قضایا پیدا می‌کند!
کشف آلپ‌اوگو جدیدترین مورد از زنجیره پیشرفت‌های بزرگ ریاضی است که توسط مدل‌های زبانی بزرگ انجام شده است. نمونه‌های اخیر شامل رد «حدس فاصله واحد» توسط OpenAI و اثبات «مسئله ۱۱۹۶ اردوش» توسط لیام پرایس (Liam Price)، یک ریاضیدان آماتور ۲۳ ساله است.
هر دو نمونه، یکی از چشمگیرترین نقاط قوت مدل‌های هوش مصنوعی را نشان می‌دهند. آن‌ها می‌توانند از ایده‌های بخش‌های مختلف ریاضیات استفاده کرده و آن‌ها را به روشی نوآورانه برای اثبات نتایج شگفت‌انگیز ترکیب کنند.
در زمان نگارش این مطلب، جزئیات دقیقی درباره این‌که آلپ‌اوگو چگونه به مدل هوش مصنوعی پرامپت داده تا مثال نقض حدس ژاکوبی را تولید کند و خروجی آن به چه شکل بوده، علنی نشده است. با این حال، تا به اینجا به نظر می‌رسد این نتیجه ماهیت متفاوتی دارد.
برخلاف بسیاری دیگر از پیشرفت‌های اخیر با کمک هوش مصنوعی، خودِ مثال نقض فوق‌العاده ساده است. دشواری در پیدا کردن آن به نظر می‌رسد نه در یک ساختار پیچیده یا یک اثبات طولانی، بلکه در یافتن راهی خوب برای پیمایش در یک فضای جستجوی عظیم از نگاشت‌های چندجمله‌ای محتمل بوده تا تابعی با ویژگی‌های درست پیدا شود.
این امر نشان می‌دهد که هوش مصنوعی ممکن است برای کشف اشیای ریاضی غیرمنتظره، درست به اندازه ساختن اثبات‌ها باارزش باشد. این‌که این موضوع برای آینده ریاضیات — و ریاضیدانان انسان — چه معنایی دارد، هنوز مشخص نیست.
منبع: Scitechdaily
